Définitions
\(\triangleright\) Définition d'un quadrivecteur position
Un quadrivecteur est un vecteur à \(4\) dimension qui permettent de représenter les Evénements.
$$V=\sum_{\mu=0}^3x^{\mu}e_{\mu}$$
$$V=\begin{pmatrix}ct\\ x\\ y\\ z\end{pmatrix}$$
\(\triangleright\) Composantes contravariantes du quadrivecteurs
$$V=\sum_{\mu=0}^3x^{\mu}e_{\mu}$$
On dit que \(x^{\mu}\) est la composante contravariantes du quadrivecteur évenement.
\(\triangleright\) Produit scalaire d'un quadrivecteur
C'est un produit scalaire de la forme, avec \(V=x^{\mu}e_{\mu}\) et \(W=y^{\nu}e_{\nu}\) des quadrivecteurs:
$$V.W=g_{\mu\nu}x^{\nu}y^{\nu}$$
$$g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}$$
Avec:- \(g_{\mu\nu}\): un tenseur métrique (de Minkowsky)
Vitesse
\(\triangleright\) Quradivecteur vitesse
Le quadrivecteur vitesse est égal à:
$$U={{\frac{dR}{d\tau} }}$$
Avec:- \(dR\): l'accroissement du gradivecteur position
- \(d\tau\): l'accroissement du temps propre
Impulsion
\(\triangleright\) Quadivecteur impulsion
Le quadrivecteur impulsion \(P=m_0U\) avec \(U\) et \(m\) la masse propre le quadrivecteur vitesse.
\(P={{\begin{pmatrix}m_0\gamma c\\ m_0\gamma v\end{pmatrix} }}\)
\(\triangleright\) Norme du quadrivecteur impulsion
La norme du quadrivecteur impulsion est une constante:
$$P^2={{m^2c^2}}$$
Accélération
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\(\triangleright\) Quadrivecteur accélération
On définit le quadrivecteur accélération comme \(\Gamma=\frac{dU}{d\tau}\) avec \(U\) le quadrivecteur vitesse et \(\tau=\gamma t\) le temps propre.
$$\Gamma={{\begin{pmatrix}c\gamma\gamma'\\ \gamma\gamma'v+\gamma^2a\end{pmatrix} }}$$
Avec:- \(a\): l'accélération tridimentionnelle
- \(v\): la vitesse tridimentionnelle
Force
\(\triangleright\) Quadrivecteur force
$$\tilde F={{\begin{pmatrix}\frac 1c\frac{dE}{dt}\\ \vec F\end{pmatrix} }}$$
Remarque
Grâce à cette notation, la
Transformation de Lorentz n'est qu'un changement de base.
Par le produit scalaire du quadrivecteur ipulsion, on peut déterminer l'
Energie totale (relativiste)
\(\triangleright\) Outils utiles
$$\frac{d\gamma}{dt}={{\frac{\gamma^3}{c^2}\vec v.\vec a}}$$
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